Fractions irréductibles - Corrigé

Énoncé

Mettre les fractions suivantes sous forme irréductible :  ${\displaystyle \frac{273}{594}}$  ;  ${\displaystyle \frac{253}{522}}$  ; ​​​​​​​ ${\displaystyle \frac{637}{630}}$  ; ​​​​​​​ ${\displaystyle \frac{1029}{1785}}$ .

Solution

D'une part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}273& 3\\ 91& 7\\ 13& 13\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $273=3\times 7\times 13$ .
D'autre part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}594& 2\\ 297& 3\\ 99& 3\\ 33& 3\\ 11& 11\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $594=2\times 3^3\times 11$ .
On en déduit que :  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{273}{594}}={\displaystyle \frac{3\times 7\times 13}{2\times 3^3\times 11}}={\displaystyle \frac{7\times 13}{2\times 3^2\times 11}}={\displaystyle \frac{91}{198}}\end{array}$  

D'une part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}253& 11\\ 23& 23\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $253=11\times 23$ .
D'autre part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}522& 2\\ 261& 3\\ 87& 3\\ 29& 29\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $522=2\times 3^2\times 29$ .
Il n'y a aucun facteur commun aux décompositions de $253$ et $522$ en produits de facteurs premiers, donc la fraction ${\displaystyle \frac{253}{522}}$ est irréductible.

D'une part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}637& 7\\ 91& 7\\ 13& 13\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $637=7^2\times 13$ .
D'autre part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}630& 2\\ 315& 3\\ 105& 3\\ 35& 5\\ 7& 7\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $630=2\times 3^2\times 5\times 7$ .
On en déduit que : $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{637}{630}}={\displaystyle \frac{7^2\times 13}{2\times 3^2\times 5\times 7}}={\displaystyle \frac{7\times 13}{2\times 3^2\times 5}}={\displaystyle \frac{91}{90}}\end{array}$  

D'une part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}1029& 3\\ 343& 7\\ 49& 7\\ 7& 7\\ 1\end{array}\end{array}$ donc $1029=3\times 7^3$ .
D'autre part, on a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}1785& 3\\ 595& 5\\ 119& 7\\ 17& 17\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $1785=3\times 5\times 7\times 17$ .
On en déduit que :

$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1029}{1785}}={\displaystyle \frac{3\times 7^3}{3\times 5\times 7\times 17}}={\displaystyle \frac{7^2}{5\times 17}}={\displaystyle \frac{49}{85}}\end{array}$