Fractions irréductibles - Corrigé

Énoncé

Mettre les fractions suivantes sous forme irréductible :  \(\dfrac{273}{594}\)  ;  \(\dfrac{253}{522}\)  ; ​​​​​​​ \(\dfrac{637}{630}\)  ; ​​​​​​​ \(\dfrac{1\,029}{1\,785}\) .

Solution

D'une part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}273&3\\ 91&7\\ 13&13\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(273=3 \times 7 \times 13\) .
D'autre part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}594&2\\ 297&3\\ 99&3\\ 33&3\\ 11&11\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(594=2 \times 3^3 \times 11\) .
On en déduit que :  \(\begin{align*}\dfrac{273}{594}=\dfrac{3 \times 7 \times 13}{2 \times 3^3 \times 11}=\dfrac{7 \times 13}{2 \times 3^2 \times 11}=\dfrac{91}{198}\end{align*}\)  

D'une part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}253&11\\ 23&23\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(253=11 \times 23\) .
D'autre part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}522&2\\ 261&3\\ 87&3\\ 29&29\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(522=2 \times 3^2 \times 29\) .
Il n'y a aucun facteur commun aux décompositions de \(253\) et \(522\) en produits de facteurs premiers, donc la fraction \(\dfrac{253}{522}\) est irréductible.

D'une part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}637&7\\ 91&7\\ 13&13\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(637=7^2 \times 13\) .
D'autre part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}630&2\\ 315&3\\ 105&3\\ 35&5\\ 7&7\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(630=2 \times 3^2 \times 5 \times 7\) .
On en déduit que : \(\begin{align*}\dfrac{637}{630}=\dfrac{7^2 \times 13}{2 \times 3^2 \times 5 \times 7}=\dfrac{7 \times 13}{2 \times 3^2 \times 5}=\dfrac{91}{90}\end{align*}\)  

D'une part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}1\,029&3\\ 343&7\\ 49&7\\ 7&7\\ 1\end{array}\end{align*}\) donc \(1\,029=3 \times 7^3\) .
D'autre part, on a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}1\,785&3\\ 595&5\\ 119&7\\ 17&17\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(1\,785=3 \times 5 \times 7 \times 17\) .
On en déduit que :

\(\begin{align*}\dfrac{1\,029}{1\,785}=\dfrac{3 \times 7^3}{3 \times 5 \times 7 \times 17}=\dfrac{7^2}{5 \times 17}=\dfrac{49}{85}\end{align*}\)